relasi dan fungsi

Hubungan/relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatupemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B.

A. SEBUAH RELASI R TERDIRI DARI:

1. Himpunan A
2. Himpunan B
3. Sebuah kalimat terbuka P(x,y) yang menyatakan hubungan antara himpunan A dengan himpunan B.
   Dimana x bersesuaian dengan a Î A dengan y bersesuaian dengan b Î B.
   ® Bila P(a,b) betul maka a berelasi dengan b. Ditulis a R b
   ® Bila tidak demikian maka a R b

B. SEBUAH RELASI DAPAT DINYATAKAN DENGAN:

1. Himpunan Pasangan Berurutan (a,b)
2. Kalimat terbuka P(x,y)
3. Diagram cartesius ( diagram A x B )
4. Diagram panah
   
   ® bila R adalah sebuah relasi, maka himpunan dari relasi ini adalah:
   
   R = {(a,b) ½ a Î A; b Î B; P(a,b) adalah betul}
   
   Ket: Jika A=B, maka P(x,y) mendefinisikan sebuah relasi di dalam A.
   
   contoh :
   
   R = (A,B, P(x,y))
   A = {2,3,4}
   B = {3,4,5,6}
   P(x,y) menyatakan x pembagi y
   
   Himpunan penyelesaian relasi ini adalah
   
   a. Himpunan pasangan berurutan 
   R = {(2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4)}
   
   
   b. Diagram cartesius
   
   
   
   c. Diagram panah
   
   

RELASI INVERS

Setiap Relasi dari A ke B, mempunyai relasi R-1 dari B ke A yang didefinisikan sebagai

R^-1 = {(b,a) ½ (a,b) Î R}

contoh:

A = {1,2,3}; B = {a,b}
R = {(1,a), (1,b), (3,a)} relasi dari A ke B
R^-1 = {(a,1), (b,1), (a,3)} relasi invers dari B ke A

DOMAIN DAN RANGE

Domain (daerah asal) dari suatu relasi R adalah himpunan elemen pertama dari pasangan berurutan elemen R.

Domain = { a ½ a Î A, (a,b) Î R }

Range (daerah hasil) dari suatu relasi R adalah himpunan elemen kedua dari pasangan berurutan elemen R.

Range = {b ½ b Î B, (a,b) Î R}

contoh:

A = {1,2,3,4} ; B = {a,b,c}
R = {(2,a) ; (4,a) ; (4,c)}
Domain = {2,4}
Range = {a,c}

Fungsi

Suatu pemetaan / fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi khusus sedemikian rupa sehingga, setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B.

ditulis f : A ® B

1. Himpunan A disebut DOMAIN fungsi, dan himpunan B disebutCODOMAIN fungsi.
   
2. Bila a Î A, maka b Î B yang menyatakan pasangan dari A, disebut image (peta) dari A.
   
   ditulis f(a) = b
3. Kumpulan dari image-image a Î A di B, membentuk range fungsi.
   
   range = f(A)