fungsi logaritma

Pengertian Logaritma

      Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan atau invers dari eksponen atau pemangkatan.

Perhatikan hal berikut.

2³ = 8

3⁴ = 81

4² = 16

      Jika ruas kiri dipertukarkan tempatnya dengan ruas kanan dan sebaliknya menjadi:

  8 = 2³ ;  81 =3⁴  ; 16 = 4²

  8 = 2³  dapat ditulis sebagai  ²log 8 = 3

81 = 3⁴  dapat ditulis sebagai  ³log 81 = 4

16 = 4²  dapat ditulis sebagai  ⁴log 16 = 2

(²log 8  dibaca “logaritma dari 8 dengan bilangan pokok 2”)

      Hal ini berarti mencari logaritma suatu bilangan positif  b  dengan bilangan pokok a sama dengan mencari pangkat dari b dalam bilangan pokok a tersebut.

Secara umum rumus dasar logaritma dapat ditulis:

                           ^alog b = c     b = a^c

               a disebut bilangan pokok (basis) logaritma, a > 0 , a ≠ 1, a є R

               b disebut numerus, yaitu bilangan yang akan dicari logaritmanya, b > 0,      b є R

               c disebut hasil logaritma

B. Fungsi Logaritma

Apabila terdapat fungsi eksponen  f  yang memetakan bilangan real  x  ke  a^x  (ditulis f(x) = a^x, dengan a > 0 dan a ≠ 1), inversnya adalah fungsi logaritma  g  yang mengawankan bilangan real  x  ke  ªlog x (ditulis  g(x) =  ªlog x).

Misalkan diketahui fungsi  f(x) = 3^x  dengan daerah asal (domain) D_f  = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 }. Hubungan antara x denganf(x) = 3^x  dapat dilihat dalam tabel berikut.

Tabel 1

X	-3	-2	-1	0	1	2	3
f(x) = 3x	1/27	1/9	1/3	1	3	9	27

Pada tabel terlihat adanya korespondensi satu-satu antara  x  dan f(x) = 3^x. Sehingga dapat dikatakan bahwa fungsi eksponen f(x) = 3^x  merupakan fungsi bijektif. Karena  f(x) = 3^x merupakan fungsi bijektif, terdapat fungsi invers  f^-1 yang memetakan setiap anggota {¹/₂₇, ¹/₉, ¹/₃, 1, 3, 9, 27} dengan tepat satu anggota {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} seperti diperlihatkan pada tabel berikut.

Tabel 2

f(x)= 3x	1/27	1/9	1/3	1	3	9	27
g(x)	-3	-2	-1	0	1	2	3

Jika fungsi invers dari f(x) = 3^x disebut fungsi g(x). Dengan demikian, g(x) dapat ditentukan sebagai berikut.

y = f(x) = 3^x

log y =  x log^x

log y =  x log 3

x =  ^log y

             ^log 3

x = ³log y

f^-1 (y) = ³log y

f^-1 (x) = ³log x

Jadi, invers dari f(x) = 3^x adalah g(x) = f^-1(x) = ³log x yang merupakan fungsi logaritma dengan bilangan pokok 3.

Berdasarkan uraian diatas, pengertian fungsi logaritma adalah suatu fungsi yang memetakan setiap  x  bilangan real dengan aturan g(x) = ^alog x,  x > 0, a > 0, a ≠ 1.